Для проверки полосы пропускания и стабильности контура обратной связи источника питания широко используются диаграммы Боде, обеспечивающие точные и количественно измеримые значения характеристик контура. В данной статье рассматриваются основные понятия и важность стабильности контура, от критерия диаграммы Найквиста до диаграмм Боде. Затем приводятся примеры диаграмм Боде и инструментов, а также лабораторные измерения для построения диаграмм Боде, чтобы продемонстрировать наилучший способ оценки стабильности контура. Также объясняются практические аспекты настройки измерений контура.
Обзор основных понятий обратной связи: критерий устойчивости и диаграмма Боде
Диаграмма Найквиста и критерий Найквиста.
Для оценки устойчивости линейной системы с отрицательной обратной связью фундаментальным и оригинальным понятием является критерий Найквиста, использующий диаграмму Найквиста. Он назван в честь Гарри Найквиста, инженера из Bell Telephone Laboratories, опубликовавшего в 1932 году классическую работу об устойчивости усилителей с обратной связью. Его критерий устойчивости Найквиста теперь можно найти во всех учебниках по теории управления с обратной связью.
Предполагая, что передаточная функция коэффициента усиления разомкнутой системы с обратной связью равна T(s), ее диаграмма Найквиста представляет собой график T(s) с s = jɯ = j2πf в комплексной плоскости Re(T(s)) и IM(T(s)), при изменении частоты ɯ в качестве параметра от 0 до бесконечности. График можно описать с помощью полярных координат, где модуль петли — это радиальная координата, а фаза передаточной функции — соответствующая угловая координата относительно точки (0, 0). Устойчивость контура определяется по количеству оборотов вокруг точки (-1, 0) на этом графике. Для типичного аналогового источника питания с обратной связью его передаточная функция разомкнутой цепи обычно устойчива (т.е., без правой полуплоскости). В этом случае замкнутая система устойчива, если график T(jɯ) не обходит точку (-1, 0) по часовой стрелке по мере увеличения частоты, как показано на рисунке 1. С другой стороны, если график Найквиста T(jɯ) обходит точку (-1, 0) по часовой стрелке по мере увеличения частоты, как показано на рисунке 4, система неустойчива.
Рисунок 1. Типичная диаграмма Найквиста устойчивой линейной системы с отрицательной обратной связью (источник питания).
Для поддержания определенного запаса устойчивости важно, чтобы график T(jɯ) находился вдали от критической точки (-1, 0). Поэтому, используя критерий Найквиста и график, запас устойчивости системы обратной связи источника питания определяется расстоянием графика T(jɯ) от точки (-1, 0). Строго говоря, для количественной оценки запаса устойчивости следует использовать минимальное расстояние между точкой (-1, 0) и графиком T(jɯ), представленное значением dm на рисунке 2. Однако, чтобы упростить задачу анализа в частотной области (с использованием диаграмм Боде), запас по фазе (PM) определяется как фазовый угол, соответствующий точке пересечения графика T(jɯ) с единичной окружностью (|T(jɯ)| = 1, или 0 дБ), а запас по усилению (GM) определяется значением |T(jɯ)|, где график T(jɯ) пересекает действительную ось (т.е. фаза = –180°), как показано на рисунке 2.
Рисунок 2. Запасы устойчивости (фазовый запас (PM) и запас усиления (GM)) на диаграмме Найквиста.
Диаграммы Боде и критерий устойчивости.
Хотя диаграмма Найквиста обеспечивает точный критерий устойчивости для системы с обратной связью, она не отображает визуально значения частоты на графике T(jɯ). Использовать этот график для анализа передаточной функции и проектирования с полюсами и нулями в частотной области непросто. В 1930-х годах другой инженер Bell Labs, Хендрик Уэйд Боде, разработал простой метод графического представления графиков усиления и фазового сдвига. Они известны как пара диаграмм Боде, которые включают соответствующие графики усиления и фазы как функцию частоты. Более интуитивно, диаграмму Найквиста можно перерисовать, используя пару диаграмм Боде, как показано на рисунке 3. График амплитуды Боде — это график функции |T(s = jɯ)| при частоте ɯ = 2πf. Здесь горизонтальная ось x для частоты логарифмическая. Амплитуда (усиление) выражается в децибелах; То есть, значение амплитуды |T| откладывается по оси x в точке 20log10|T|. Фазовая диаграмма Боде — это график фазы, обычно выражаемой в градусах, передаточной функции arg(T(s = jɯ)) на частоте ɯ. Значение фазы откладывается по вертикальной линейной оси. Используя диаграммы Боде, частота, на которой график усиления достигает 0 дБ (ось x), определяется как полоса пропускания замкнутой системы fBW. Это та же точка, в которой диаграмма Найквиста T(jɯ) пересекает единичную окружность. Следовательно, на частоте fBW разность фаз между фазовой диаграммой и –180° представляет собой запас устойчивости фазы (PM), показанный на диаграмме Найквиста, то есть PM = 180 + arg(T(jɯ)) на частоте fBW. Следует отметить, что PM ≤ 0 указывает на неустойчивую систему. По мере увеличения частоты фаза источника питания может еще больше уменьшаться. Точка, где фаза достигает –180°, совпадает с точкой пересечения графика Найквиста T(jɯ) с осью Re, где запас по усилению (GM) определяется как 1/|T(jɯ)|. В итоге, критерий устойчивости Боде — это упрощенный критерий Найквиста, представленный на графиках Боде.
В качестве примера на рисунке 4 показана типичная неустойчивая система и соответствующие ей диаграммы Найквиста и Боде. На диаграмме Найквиста контур T(jω) вращается вокруг точки (-1, 0) по часовой стрелке по мере увеличения частоты. График пересекает ось x еще до того, как величина |T(jω)|, т.е. расстояние до точки (0, 0), становится равной 1. График T(jω) пересекает единичную окружность с отрицательным фазовым углом. Следовательно, на диаграммах Боде фазовый угол достигает -180°, в то время как коэффициент усиления остается выше 0 дБ. На частоте среза fBW значение фазы меньше -180°. Из диаграмм Боде легко сделать вывод, что это неустойчивая система с PM < 0°.
Еще одним важным преимуществом диаграмм Боде является наглядное представление передаточной функции, ее полюсов и нулей, с указанием их точного частотного положения и влияния на графики усиления и фазы. Благодаря этому проектирование системы компенсации обратной связи становится стандартным инженерным процессом.
Рисунок 3. Типичная стабильная система: диаграмма Найквиста, диаграммы Боде и соответствующая ширина полосы пропускания, запас по фазе (PM) и запас по усилению (GM).
Рисунок 4. Диаграмма Найквиста типичной неустойчивой системы и соответствующие ей диаграммы Боде.
Рисунок 5. Концептуальная система с хорошими показателями PM и GM, но с риском нестабильности.
Наконец, хотя запасы по усилению и фазе на диаграмме Боде являются классическими показателями робастности, которые давно используются в проектировании систем управления, следует помнить, что интерпретация запасов устойчивости на диаграмме Боде может быть некорректной или неточной, если существует несколько точек (частот), где диаграмма Найквиста пересекает или приближается к единичной окружности (т.е. диаграмма усиления Боде пересекает 0 дБ). Например, на рисунке 5 показан пример системы с хорошими запасами по фазе и усилению на диаграммах Боде. Однако диаграмма Найквиста показывает, что она опасно близка к точке (-1, 0), что создает риск нестабильности. В этом примере система не является робастной. Поэтому даже при использовании диаграмм Боде важно рассматривать всю диаграмму целиком, а не сосредотачиваться только на двух точках: фазовом (в fBW) и амплитудном (GM).
В заключение, метод диаграммы Боде доказал свою простоту и эффективность для анализа устойчивости контура. Поэтому он широко используется в линейных системах с обратной связью, включая источники питания. Инженеры ценят простоту (кто бы не оценил?) использования запаса по фазе для определения и количественной оценки устойчивости контура. Многие инженеры-практики, возможно, забыли первоначальную концепцию Найквиста из учебников. Важно отметить, что концепции критерия Найквиста и диаграммы Найквиста остаются полезными, особенно при работе с необычными и запутанными диаграммами Боде.
Стабильность контура питания.
Существует два основных типа источников питания: линейные источники питания и импульсные источники питания (ИИП). Линейные источники питания относительно просты. Их компенсационная цепь обычно интегрирована в одну интегральную схему, поэтому пользователям достаточно следовать инструкциям в техническом описании относительно минимальной и максимальной требуемой выходной емкости. ИИП обычно имеют более высокую эффективность и, следовательно, более высокую номинальную мощность, чем линейные источники питания. Многие контроллеры ИИП позволяют пользователям внешне регулировать контур компенсации для оптимальной стабильности и переходных характеристик.
Импульсные источники питания (ИМП) представляют собой нелинейные, изменяющиеся во времени системы из-за коммутационных процессов. Однако их можно моделировать с помощью модели усредненной линеаризации малых сигналов, которая действительна до частоты переключения источника питания fSW/2. Поэтому анализ устойчивости линейного контура управления может быть применен с использованием диаграмм Найквиста и Боде. Как правило, максимальная полоса пропускания ИМП составляет приблизительно от 1/10 до 1/5 частоты переключения fSW. Запас по фазе 45° обычно приемлем, особенно для понижающих преобразователей. Предпочтительным является запас по фазе 60° не только как консервативное значение, но и потому, что он помогает сгладить кривую выходного импеданса замкнутого контура для эффективного проектирования сети распределения электроэнергии (СПЭ). Запас по усилению от 8 дБ до ~10 дБ обычно желателен, хотя следует отметить, что усредненная модель и ее диаграммы Боде действительны только до fSW/2. Кроме того, для ослабления коммутационных помех в контуре компенсации обратной связи желательно ослабление усиления ≥8 дБ на fSW/2, что является еще одним ориентиром для расчета запаса усиления или ослабления усиления. Более подробную информацию о моделировании малых сигналов и проектировании компенсации контура см. в примечании к применению Analog Devices AN149.1 .
Инструменты для построения диаграмм Боде для контуров управления мощностью:
Анализ диаграмм Боде — это стандартный и обязательный метод количественной оценки устойчивости контура управления мощностью. Существует множество инструментов проектирования и измерений для построения диаграмм Боде.
Инструмент проектирования LTpowerCAD.
Инструмент проектирования LTpowerCAD® от ADI (доступен для бесплатной загрузки на analog.com/LTpowerCAD) — это мощный инструмент для проектирования и оптимизации источников питания. Он позволяет инженерам проектировать импульсные источники питания за пять простых шагов, включая поиск/выбор компонентов, проектирование силового каскада, оптимизацию эффективности, проектирование контура обратной связи и переходной нагрузки, а также создание сводного отчета о проектировании. Полное проектирование на бумаге может быть выполнено всего за несколько минут. В LTpowerCAD генерируются диаграммы Боде контура обратной связи в реальном времени с использованием линейных моделей малых сигналов силовых устройств ADI. Модель контура для каждого устройства была проверена на демонстрационной плате ADI для обеспечения высокой точности. Диаграммы Боде в реальном времени и переходные сигналы позволяют инженерам быстро проектировать и оптимизировать контур обратной связи.
На рисунке 6a показана домашняя страница инструмента LTpowerCAD.
Пользователи могут начать проектирование источника питания, щелкнув значок «Проектирование источника питания». На рисунке 6b показан пример диаграмм Боде для переходных процессов в контуре и под нагрузкой в LTpowerCAD с использованием LTM4638— высокоплотного понижающего регулятора µModule® с выходным напряжением 20 В/15 А. LTM4638 — это полностью интегрированный понижающий регулятор, включающий в себя управляющую микросхему, полевой транзистор, индуктор и несколько входных и выходных конденсаторов в небольшом корпусе размером 6,25 мм × 6,25 мм × 4 мм. Он имеет опцию внешней компенсации контура для гибкой настройки контура в соответствии с различными условиями эксплуатации, особенно при изменении значений выходных конденсаторов. Таким образом, контур и его переходные характеристики всегда могут быть оптимизированы по мере необходимости.
На диаграммах Боде LTpowerCAD на рисунке 6b вертикальная зеленая линия указывает полосу пропускания источника питания (частоту среза). Фазовый график построен как фаза + 180° для удобства считывания запаса по фазе. Это также распространенный способ построения фазовых графиков в инструментах. Вертикальная красная линия указывает частоту переключения источника питания. Поскольку усредненные модели малых сигналов действительны только до fSW/2, необычные зигзагообразные графики усиления и фазы за пределами fSW бессмысленны.
Пользователь может просто ввести/изменить значения R/C цепи компенсации контура или использовать ползунки значений R/C и установить флажок «Заморозить графики», чтобы настроить и сравнить результаты диаграмм Боде в реальном времени. Кроме того, пользователь может также установить желаемую полосу пропускания контура (≤1/10 до ~1/5 fSW), а затем установить флажок «Использовать предлагаемую компенсацию». Инструмент LTpowerCAD автоматически предложит набор значений RC-компенсационной цепи для оптимизации контура с высокой полосой пропускания и достаточным запасом по фазе, независимо от изменения COUT в этом примере. Это делает проектирование компенсации контура простым действием в один клик.
Наконец, после того, как схема питания будет спроектирована в LTpowerCAD с оптимальными параметрами, ее можно экспортировать в инструмент моделирования LTspice® для динамического моделирования во временной области.
Рисунок 6. (a) Инструмент проектирования шрифтов LTpowerCAD и (b) страница проектирования циклов.
Инструмент моделирования цепей
LTspice — очень популярный инструмент моделирования цепей от компании ADI. Его также можно бесплатно скачать с сайта analog.com/LTspice. LTspice можно использовать для моделирования установившихся и переходных процессов в частотной области схемы источника питания, а также для моделирования цепи переменного тока в частотной области. Однако пока он не предлагает быстрого и удобного способа моделирования диаграмм Боде импульсных источников питания, если для данной схемы импульсного источника питания не разработана специальная модель усредненного малого сигнала.3,4,5 Инженер может использовать инструмент LTpowerCAD для проектирования источника питания, включающего компенсацию контура обратной связи, а затем экспортировать проект в LTspice для более детального моделирования схемы.
Лабораторные измерения диаграмм Боде
: Зачем проводить лабораторные испытания? Учет вариаций параметров:
Из-за неточности и вариаций значений внешних компонентов диаграммы Боде моделируемых контуров могут быть хорошей отправной точкой, но они могут быть не очень точными. Наиболее значительные вариации обычно возникают из-за цепи выходных конденсаторов. Например, на рисунке 7 показано, что значение емкости многослойного керамического конденсатора (MLCC) может значительно изменяться в зависимости от напряжения постоянного смещения или пульсаций переменного напряжения, что приводит к ошибкам в значении емкости от 40% до 60%. Вариации постоянного смещения учтены в библиотеке конденсаторов LTpowerCAD, в то время как вариации переменного смещения пока отсутствуют. Другой распространенный тип конденсаторов — это конденсаторы на основе проводящих полимеров. Они обладают высокой емкостью, но также имеют более высокие значения паразитного ESR, чем MLCC. К сожалению, типичное значение ESR в техническом описании полимерного конденсатора может быть неточным. Хуже того, многие полимерные конденсаторы чувствительны к влаге (MSL3). Значение ESR может значительно изменяться со временем, если компонент не хранится в сухом герметичном пакете.
Рисунок 7. Значительные колебания значения MLCC в зависимости от условий эксплуатации.
Зачем проводить лабораторные испытания? Учитывая паразитные параметры печатной платы:
иногда паразитная индуктивность или емкость в дорожке печатной платы также могут вызывать дополнительные ошибки в моделях Боде контура. На рисунке 8 показан пример демонстрационной платы понижающего преобразователя. Дорожка печатной платы длиной 3 см (10 тысячных дюйма) от смещенного вывода ITH может иметь паразитную емкость 10 пФ относительно земли. В результате это вызывает заметное падение запаса по фазе примерно на 10°. Аналогично следует отметить, что паразитная емкость от вывода обратной связи по мощности (FB) может вызывать тот же эффект.
Рисунок 8. Паразитная емкость дорожки печатной платы от смещенного вывода ITH (~10 пФ) влияет на фазовые диаграммы контура.
В заключение, смоделированные диаграммы Боде контура могут быть не очень точными. Поэтому стендовые испытания диаграмм Боде всегда являются необходимым шагом для проверки источника питания на этапе разработки.
Измерение и особенности построения диаграммы Боде.
Типичная схема установки.
Типичным коммерческим прибором для измерения диаграмм Боде источников питания является анализатор цепей (частот), например, RidleyBox® от Ridley Engineering или Bode 100 от Omicron Lab. На рисунке 9 показана типичная схема установки для измерения диаграммы Боде цепи тестируемого устройства (DUT). В дополнение к стандартному резистору обратной связи в цепь обратной связи вставляется небольшой инжекционный резистор Ro от 10 Ом до 50 Ом. Анализатор цепей подает небольшой переменный сигнал от 10 мВ до 100 мВ на резистор Ro, чтобы «разорвать» цепь. Анализатор цепей сканирует частоту переменного сигнала от низких значений к высоким, а затем измеряет сигнал в точках A и B на резисторе Ro. Передаточная функция коэффициента усиления цепи T(s) измеряется в ВА(s)/ВБ(s) (или канал 2/канал 1). Сетевой анализатор вычисляет коэффициент усиления и фазу VA(s)/VB(s) в каждой частотной точке и, таким образом, строит диаграммы Боде для коэффициента усиления и фазы.
Учет отношения сигнал/шум (SNR):
При измерении параметров контура в различных частотных диапазонах необходимо учитывать отношение сигнал/шум (SNR). В частности, силовой контур обычно имеет очень высокое усиление на очень низких частотах для достижения высокой точности регулирования выходного постоянного тока. С увеличением частоты усиление контура уменьшается. Поскольку усиление контура измеряется как ВА(s)/ВБ(s), сигнал ВБ(s) может быть очень малым на очень низких частотах. В результате график усиления контура на очень низких частотах может быть зашумленным. Поэтому измеренный фазовый график часто не очень гладкий на низких частотах, даже несмотря на то, что усиление остается высоким. Для улучшения SNR иногда полезно использовать переменный сигнал переменного тока с изменяющейся частотой. Например, зеленая линия на рисунке 8b показывает переменный сигнал переменного тока, заданный с помощью анализатора цепей. Сигнал переменного тока имеет максимальную интенсивность на более низких частотах и линейно уменьшается с увеличением частоты.
Кроме того, для минимизации шума измерения заземляющие выводы щупа анализатора цепей следует подключать к тихой заземляющей дорожке сигнала рядом с микросхемой драйвера источника питания на печатной плате.
Рисунок 9. Типичная конфигурация для измерения полосы пропускания контура питания (коэффициент усиления контура = канал 2/канал 1).
Рисунок 10. Типичные конфигурации измерения диаграммы Боде источника питания тестируемого устройства: (a) источник питания с внешними резисторами обратной связи и (b) модуль питания с внутренними резисторами обратной связи.
Измерение параметров силового модуля со встроенными резисторами обратной связи.
На рисунке 10 показаны два варианта конфигурации для двух типичных резисторов обратной связи в источнике питания. Рисунок 10a относится к дискретному источнику питания с внешне доступным делителем напряжения на резисторах обратной связи RT и RB. Следовательно, конфигурация измерения контура такая же, как на рисунке 9. Однако многие интегральные источники питания, такие как силовые модули серии LTM от ADI, уже имеют один или оба резистора обратной связи, встроенные в модуль и подключенные к VOUT. Поэтому разорвать контур для установки резистора Ro сложно. Вместо разрыва исходного пути измерения VO, альтернативный способ измерения контура показан в методе параллельного соединения на рисунке 10b, если вывод обратной связи (FB) остается доступным. В этом случае пара внешних резисторов гораздо меньшего номинала (1 кОм) создает делитель RT1/RB1 вне модуля. По сравнению с рисунком 10a, внешние сопротивления теперь составляют 1/60 от их предыдущего значения. Благодаря более низкому сопротивлению внешнего параллельного делителя напряжения, большая часть переменного тока протекает по этому внешнему пути, а не по внутреннему. Поэтому инжекционный резистор Ro можно вставить во внешний делитель напряжения RT1 и RB1. На рисунке 11 показано сравнение графиков усиления и фазы Боде источника питания, измеренных с использованием конфигураций, показанных на рисунке 10a (Метод 2) и рисунке 10b (Метод 1). Два графика усиления наложены друг на друга. Метод 1 показывает неточное усиление на низких частотах. К счастью, это не имеет значения, поскольку нас в первую очередь интересуют графики на высоких частотах, особенно вблизи полосы пропускания источника питания, где измеряются запасы устойчивости.
Рисунок 11. Пример диаграмм Боде, построенных с использованием методов измерения, показанных на рисунках 10a и 10b, на одном и том же источнике питания.
Кроме того, если исходная резисторная цепь обратной связи имеет конденсатор прямого питания (FFP), то в методе параллельного делителя R значение FFP необходимо увеличивать пропорционально отношению RT/RT1, чтобы сохранить то же значение постоянной времени R/C и частот полюсов и нулей. На рисунке 12 показан пример.
Рисунок 12. Пропорциональное увеличение значения CFF при параллельном подключении внешнего делителя R.
Заключение:
Критерий Найквиста и соответствующий критерий устойчивости контура Боде важны для инженера при понимании и проектировании быстрого и стабильного источника питания. Хотя диаграммы Боде широко используются для оценки устойчивости контура, критерий Найквиста иногда может быть использован для объяснения необычных диаграмм Боде. Имея четкое понимание устойчивости контура, инженер может использовать инструмент проектирования LTpowerCAD для быстрого проектирования и оптимизации источника питания. Кроме того, из-за вариаций компонентов и паразитных эффектов печатной платы измерение контура Боде в лабораторных условиях является необходимым этапом для его настройки. Для получения точного результата необходимо учитывать практические аспекты измерения и конфигурации контура.
Ссылки
1. Генри Дж. Чжан. «Примечание к применению 149: Моделирование и проектирование контура компенсации импульсных источников питания». Linear Technology, январь 2015 г.
2. Генри Чжан. «Проектирование параметров источника питания в пять простых шагов с помощью инструмента проектирования LTpowerCAD». Analog Devices, Inc., сентябрь 2015 г.
3. Ватче Ворперян. «Упрощенный анализ ШИМ-преобразователей с использованием модели ШИМ- переключателя, часть I: режим непрерывной проводимости». Труды IEEE по аэрокосмическим и электронным системам, том 26, № 3, май 1990 г.
4. Ватче Ворперян. «Упрощенный анализ ШИМ-преобразователей с использованием модели ШИМ- переключателя, часть II: режим прерывистой проводимости». IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, том 26, № 3, май 1990 г.
5. Реймонд Б. Ридли. «Точная и практичная модель малых сигналов для управления в токовом режиме». Ridley Engineering, 1999.
Об авторе
Генри Чжан — директор по применению силовой продукции в компании Analog Devices. Он получил степень бакалавра наук в области электротехники в Чжэцзянском университете (Китай) в 1994 году, а также степень магистра наук и доктора философии в области электротехники в Вирджинском политехническом институте в Блэксбурге, штат Вирджиния, в 1998 и 2001 годах соответственно. С 2001 года он работает в компании Linear Technology (ныне входящей в состав ADI). С ним можно связаться по адресу:
